Eerst moet een kind hoeveelheidsverschillen begrijpen (meer/minder, serialiteit). Daarna pas kan het aantalverschillen begrijpen (3=3x een gelijke hoeveelheid, kardinaliteit). Bovendien heeft meer/minder/hoeveelheid betrekking op maar één eigenschap (lengte, hoogte, gewicht, etc).

Verder zijn de woorden en begrippen nodig om uitleg van de rekenmeester te kunnen begrijpen.

Om het eenvoudige (vinger)-op-tellen te doorbreken is het nodig dat het kind de termen van de som in één keer kan herkennen (subitizing) en dus niet gaat tellen. Dán is het mogelijk de gewenste rekenhandelingen die in het hoofd moeten komen te tonen (visualiseren van mentale handelingen). Dit komt psychologisch nogal nauwkeurig. Vandaar dat veel kinderen blijven vingertellen ondanks visualiseringen met kabouters, paddestoelen, etc. Misschien zelfs wel dóór dat soort visualiseringen.

In de vorige leerfase is het omwissellen concreet zichtbaar door de stippen. Nu gebruikmaken van van omwisselen zonder visuele steun van stippen. Overigens is het omwisselen nog wel te zien aan de wijze waarop de gemaakte sommen getoond worden.

Deze sommen gaan over 10 en de stippatronen zijn wat ingewikkelder.

Deze sommen tonen dat je termen mag verwisselen.

Het verwisselen van termen is een van de eerste rekenkundige inzichten die het kind kan krijgen. Ook een handige. Namelijk: 2+7 en 7+2 is gelijk. Dus als je bij 2+7 even de termen omdraait dan ben je veel sneller klaar met bijtellen. De commutatieve wet noemen wiskundigen dat.

Draaiende dobbelstenen tonen dat verwisselen van termen mag.

Sluwe som. Het kind ontdekt zelf dat het termen kan omdraaien en zo minder hoeft te tellen.

Het voordeel van termen wisselen wordt groter als de tweede term groter wordt. Als een vingerteller het wisselen snapt dan kan de teller ook sommen als 2+17 of zelfs 2+27 zonder vingertellen oplossen. Als een kind dit door heeft dan werkt dat zeer motiverend (Ik kan sommen boven de 20 oma.

De tabel geeft alle sommen onder 10. Ook gemakkelijke (1+1). Het kind begint bij de sommen die het kent. De uitkomst van de sommen die het niet kent kan het afleiden uit de naastliggende bekende en gemaakte sommen.

En passant 'memoriseert' ('instampen') het kind.

Het leert vooral dat je de uitkomst van een onbekende som af kunt leiden uit een som die je wel kent. De rekenmeester kan het kind op gang helpen met bijvoorbeeld: Deze (1+1) zit vast al in je hoofd. Daarna kan het kind zelf sommen kiezen.

Let op dat het kind niet gaat tellen. Geef eventueel de muis in de hand en zeg: Houd de muis goed vast anders loopt hij weg.

Naar de toets:
geen steun,
alleen de som.

Naar de toets:
geen steun,
alleen de som.

Voor aftrekken geldt min of meer hetzelfde als voor optellen. Aftrekken blijk lastiger. Het is onduidelijk waarom. Daarom is mijn voorkeur eerst het optellen goed te krijgen en het rekenen niet moeilijker te maken. Na het optellen is het aftrekken eenvoudiger. Maar dat zou mijn keuze zijn.

Optel- en aftreksommen doorelkaar geven meer fouten. Sommen doorelkaar belast het werkgeheugen met: Goed op het teken letten. Het kind moet omschakelen van 'optel-mode' naar 'aftrek-mode'. Er is dus minder ruimte in het werkgeheugen voor het rekenen zelf. Bovendien neemt de kans op werk­geheugen­fouten toe als het kind snel wil of moet werken. Vindt het kind rekenen lastig dan is er stress. Dat leidt ook weer tot het minder goed functioneren van het werkgeheugen. Het resultaat van die alles is dat kinderen fouten maken, maar die fouten komen niet doordat zij niet kunnen rekenen. Je hebt dan een onbetrouwbare meting zeggen psychologen dan.

Hoe dan ook, deze sommen bepalen hoe het met afrekken onder 10 staat.

Naar de toets:
geen steun,
alleen de som.

Bij grote stipgroepen is de verleiding te gaan tellen ook groot. Om dit tegen te gaan zijn de stippen zo geordend dat het kind het aantal eenvoudig kan zien. Verder zijn de stippen steeds korter te zien zodat tellen steeds minder goed mogelijk wordt. Met meer leerlingen zou je er een wedstrijd van kunnen maken. Wel verschijnen de stippen steeds weer opnieuw zodat het kind herkansingen krijgt.

De reactietijd verraadt dat er waarschijnlijk geteld wordt. Bij elke herkansing leert het kind de hoeveelheid beter te herkennen. De stippen sorteren ook voor op tientalligheid. Fouten zijn niet zo erg. Je vergist je gemakkelijk. Angst voor fouten leidt tot tellen. De stippen zijn per tiental geordend en conform het positiestelsel (links de tientalen, hier nog een en rechts de overbijvende eenheden.)

Analoog aan vorige sommen om stipgroepen te herkennen, nu over 20 heen. Ook nu voorsorteren op tientalligheid.

Naar de toets:
geen steun,
alleen de som.

Sommen in stipgroepen herkennen. Analoog aan vorige sommen maar over 20 heen.

Analoog aan de vorige leerstap maar nu met sommen tot 15. Niet tellend oplossen! Een onbekende som afleiden uit een som die het kind wel kent. Het kind leert niet alleen de sommen ('memoriseren, instampen'). Het leert vooral dat je de uitkomst van een som die je niet weet af kunt leiden van een som die je wel weet.

Wanneer het kind de voorgaande stappen niet goed beheerst kan dat betekenen dat het kind nog niet toe is aan het abstracte aantalbegrip (kardinaliteit). Maar het kan ook zijn dat het kind de taal onvoldoende beheerst of dat het aantalverschil gewoon niet zo goed te zien is. Hoe dan ook, deze leerfase toont het aantal (stippen) zo, dat zonder tellen te zien is wat het hoogste aantal is.

Bij de vorige sommen is er maar één optelling (van alleen honderden, alleen, tienen of alleen enen). Nu is er een optelling op twee plaatsen.

ui, oe etc. zijn letters met, toevallig twee toevallige tekens. Je zou ook kunnen schrijven iu en eo.
12, 34 etc. zijn getallen met met twee cijfers. Maar je kunt niet zomaar schrijven 21 en 43. Dit moet je kinderen wel even duidelijk maken, bijvoorbeeld met deze sommen. Als je plaats bepaalt waarde begrijpt dan maakt de grootte van het getal niet uit. Grote getallen tonen plaatswaarde. Daarom deze sommen.

Met eenvoudige sommen boven 100 wordt het positiestelsel duidelijk. De handelingen voor 10+2 zijn gelijk aan de handelingen voor 100+2. De sommen staan wel onder elkaar en er is kleursteun. Kinderen hebben geen moeite met deze sommen. Natuurlijk wel met de bijhorende onsystematische telwoorden. Los dat eventueel op met 'piloten'-taal. Dus niet: Vlucht driehonderdtwaalf maar Vlucht drie een twee.

xxxx

Gelijk aan de vorige leerstap maar geen kleursteun. Maak de som eventueel moeilijker door niet in 'piloten'-taal te laten antwoorden maar met de gewone verwarrende telwoorden. De gewone telwoorden zijn wat plaatswaarde betreft erg verwarrend.

Als je graag wilt dat kinderen ook sommen naast elkaar doen dan is dat meer een bonus voor bollebozen dan hulp voor de 'hopelozen'.

Optelsommen, termen niet zoals gebruikelijk naast maar onder elkaar getoond, met uitkomst onder 30.

   10 
+10
_____
=



   14
+15
____
= ...

Naar de toets:
geen steun,
alleen de som.

Naar de toets:
geen steun,
alleen de som.

Naar de toets:
geen steun,
alleen de som.

Naar de toets:
geen steun,
alleen de som.

Naar de toets:
geen steun,
alleen de som.

Naar de toets:
geen steun,
alleen de som.

Naar de toets:
geen steun,
alleen de som.

Analoog aan vorige stipsommen maar nu tot 15. Over het tiental heen.

Naar de toets:
geen steun,
alleen de som.

Naar de toets:
geen steun,
alleen de som.

Er is een zeer groot verschil tussen

• Notjes: sommen die niet over een tiental gaan (81+8).

• Wotjes: sommen die wel over een tiental gaan (82+9).

81+8 is veel gemakkelijker dan 82+9.

Daarom moet een kind éérst alle notjes onder 100 goed beheersen voor het wotjes krijgt. Het snapt dan het optellen door gebruik te maken van (tiental)plaats.

Daarna moet het kind eerst de wotjes herkennen zodat het weet dat er een geheel andere oplossingswijze is. Bij wotjes maak je gebruik van (tiental)plaats maar óók van inwisselen. Dat inwisselen is nogal wat. Als het kind notjes en wotjes herkent dan kan het sommenchaos beheersen, bijvoorbeeld:

• Ah, wel lastige cijfers maar het is een notje, makkie dus eigenlijk.

• Oei, over 10, nog te moeilijk voor mij. Verleidt het kind niet zo maar wat te doen. Het kind moet denken/ zeggen: Bekijk jij het even. Te moeilijk voor mij. Leg het eerst maar eens dat inwisselen fasoenlijk uit beste rekenmeester.

Een kind dat de inwisselprocedure goed uitvoert hoeft het inwisselen nog niet te begrijpen. Met deze sommen kun je inzicht in het inwisselen toetsen en aanleren.

Het eenvoudige inwisselen van tientallen moet je begrijpen voor je aan het ingewikkelde inwisselen begint van tijd (inwisselen van seconden, minuten, uren, dagen, maanden etc.).

xxxx

Naar de toets:
geen steun,
alleen de som.

Toets op papier voor het optellen tot 100 met inwisselen.

Naar de toets:
geen steun,
alleen de som.

Naar de toets:
geen steun,
alleen de som.

Een klassikaal lesprogramma dwingt de leermeester soms door te gaan naar deze leerstap. Kinderen die nog ongezien uitstekend tellend rekenen zijn daar nog niet aan toe. Keersommen zijn niet tellend op te lossen. Tot verbazin van velen vallen die kinderen nu dus door de mand: 'discalculie' en een aversie tegen getallen is geboren.

Niet tafels opzeggen zoals wel gebruikelijk maar eerst tafels herkennen.

Tafels met een uitkomst boven 20 zijn niet meer visueel en met concrete hoeveelheden uit te rekenen. Deze tafels kun je alleen maken met een som die je kent. Daarvoor moet het kind in de getoonde tafelrij zoeken. Door dit visueel zoeken komt het patroon van de tafelreeks in het geheugen. Het vinden van een passende som die het kind kent, kan steeds sneller gaan verlopen (automatiseren, instampen).

Deze leerstap introduceert de tafel-herken-som. Alleen tafels onder 6. Eerst ziet het kind de hele tafel en daarna delen van de tafel.

Gelijk aan vorige leerstap maar de getallen zijn groter maar even.

Gelijk aan vorige leerstap maar uitkomste zijn oneven. Best lastig: getallen zijn groter en oneven. Probeer zelf maar eens. Je vergist je zo.

xxxx

xxxx

Naar de toets:
geen steun,
alleen de som.

Net als bij het optellen onder tien wordt het vermenigvuldigen boven 20 aangeleerd door de uitkomst van niet geautomatiseerde sommen af te leiden uit wel geautomatiseerde sommen. Dus: 4x4=16, dat weet ik, dus 5x4, is 4 erbij, is dus 20. Het kind kan zelf de volgende som kiezen (autonomie).

De Rekenhaas lokt de afleiding uit met een tabel. De sommen die het kind net niet kent staan direct naast sommen die het wel kent. Deze afleiding verloopt steeds sneller (verkort zich). Je mag dat memoriseren noemen maar mijn voorkeur is de term automatiseren (steeds meer verkorten). Rekenmeesters met een voorkeur voor instampen en rijtjes kunnen dat met deze sommen overigens ook gewoon doen.

Gelijk aan de vorige leerstap maar nu vermenig­vuldigen tot 10x10.

Sommige rekenmeesters vinden dat kinderen de uitkomst van sommen als 9x9 en 7x8 direct moeten kunnen geven (ingestampt, gememoriseerd, geautomatiseerd). Ik vind dat niet zo belangrijk. Deze kennis geeft niet meer inzicht en wanneer je gaat werken in een winkel zonder kassa dan leer je vanzelf vrij snel uitstekend hoofdrekenen. Maar goed.

Met deze sommen kun je de tafels er goed instampen. Bovendien op een psychologisch verantwoorde wijze (de uitkomst van een som afleiden uit de uitkomst van een som waar je de uitkomst wel van weet). Net als bij de vorige leerstap.

De sommen kunnen echter ook anders gebruikt worden. De sommen zijn ook bruikbaar voor rekenmeesters die kinderen willen leren denken en die bollebozen hebben die te ver voor de klas uitlopen.